等腰三角形,底角为15度,腰长为8,求面积

等腰三角形,底角为15度,腰长为8,求面积

问题

等腰三角形,底角为15度,腰长为8,求面积

观察问题。以BC为底边计算面积的话,高不易由小学数学知识计算得到。考虑到底角是15度,很明显角BAC是150度(=180-15-15),而其补角是30度,故如果以AB为底边的话,在外侧可以做出一个内角为30、60、90度的特殊直角三角形,其性质决定了容易计算高。

参见下图

解

需要做两条辅助线。第一条是延长线段BA(不妨从B为起点,过A做一射线),另一条是从C点出发做一条到射线BA的垂直线,垂足为D。

前面已经讨论过,角DAC为30度,角ADC为90度,那么角ACD是60度。根据30-60-90三角形的特殊性质,斜边AC是30度角DAC的对边CD长度的两倍,因此对边CD的长度是8/2=4。

由于ADC是90度,因此CD是以BA为底的三角形ABC的高,根据三角形面积公式,得到三角形面积为 (底AB*高CD)/2 = 8*4/2 = 16。

证明含有30度角的直角三角形中,30度角所对直角边长度是斜边的一半

假设有一正三角形ABC,显然其内角均为60度。

正三角形是等腰三角形,因此从其顶点到对边中点的连线是顶点角平分线,也垂直于对边。假设从顶点A出发到BC做垂线,垂足为D,则角BAD是角BAC的一半即30度,BD=DC=1/2 BC。

配图是使用 GeoGebra.org 绘制的,在此表示感谢。

notes/math/triangle_15.txt · 最后更改: 2021/03/26 22:25